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感想

从零开始学习数学了
我很感谢我这个专业上的是数学分析而不是高等代数，这样我可能会推迟半年到一年才会知道这些理论，这就是所谓的选择大于努力吗(笑)
我认为既然学了一门学科，如果那门学科很重要，那我没有不把它学好，学深的理由
我一直认为，如果数学学不好，老师和教材的理由占一大半，毕竟，我这么愚笨，仍然可以在这汪洋大海寻到属于自己的一片小港
我学习数学的道路并没有跟着老师来，我没有否定老师的努力的意思，只是可能他们确实没有做到深入浅出的讲解一个知识点，没有在宏观上为我们建立起数学分析的基石(实数的完备性)，没有深入讲解集合论的用途和本质，没有系统的建立起我们的知识体系，没有做到让学生明白------我们学的是什么，有什么用，为什么学。这可能不是我们学校的问题，毕竟，我也看到顶尖985高校的学生吐槽本科教育(笑)。我没有那么大的能力去改变基本国情，我也只是为我学的这些知识给出总结，让我自己加深对数学这门学科的理解罢了
学习这些知识的时候，我真的感觉很快乐，原来这些知识是这样的，原来这些定理是等价的，原来可以这样推出来这个定理，原来我学过这些看起来不相关的知识是一个体系里面的
我看见了一个完全不同于我初高中所学的世界，那是如此的具有魅力，令我无法自拔
也许是过于激动了吧。总之，我写下这篇文章，是为了建立起我对实数完备性宏观理解，为什么归类于集合论，哈哈，其实也差不多了
我先从ZFC公理系统出发，这彻底改变了我对集合和自然数的理解，建立一个完备的集合论
然后利用经典集合论和dadekind分割构造实数域(可能会写柯西的构造吧)，没错，实数域不是一开始就存在的，是人们需要一个完备的有序域，从而构建出来的
这给以前不加怀疑的认同无理数和实数域，从未质疑这些定义是否精确，是否合理的我，打开了一个完完全全崭新世界的大门

• 强烈建议阅读陶哲轩实分析或者其他西方的经典教材
• 647老师的教材推荐

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• ZFC公理系统
  • 外延公理
  • 空集公理
  • 分离公理模式
  • 配对公理
  • 并集公理
  • 幂集公理
  • 无穷公理
  • 正则性公理
  • 替代公理模式
  • 选择公理
• 关系与映射
  • 笛卡尔积
  • 初识关系
    • 关系的定义和表示
    • 关系的运算
  • 深入关系
    • 关系的性质
    • 关系闭包
    • 特殊关系
    • 特殊关系的拓展

ZFC公理系统

遗憾的是ZFC公理体系中唯一没有精确定义的就是集合的定义，ZFC是通过一系列公理对集合的性质和行为做出描述和约束。换句话说，ZFC公理系统中并不明确地定义“什么是集合”，而是规定了集合的行为和可以进行的操作，使得集合概念在公理化系统中得到严密的描述。

• 集合定义：集合是一些确定的、不重复的对象的集合。

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外延公理

(Axiom of Extensionality)

∀u(u∈A⇔u∈B)⇒A=B,而反过来，如果A=B，那么∀u(u∈A⇔u∈B)，所以我们可以得到，A=B⇔∀u(u∈A⇔u∈B)。
这严谨的定义了集合相等的概念，当然，=这个关系也是需要定义的，包括有序域的加减乘除都需要我们来定义，但这里先不写这些，先用已经接受的知识去理解新的知识，这是学数学的秘诀

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空集公理

（Axiom of Empty Set）

在介绍空集公理之前，先补充定义空集所必须的一个引理：分离公理模式

分离公理模式

（Axiom Schema of Separation）
对于任意集合u和任意性质P(x)，存在一个集合A，A={x|u∈A∧P(x)}，即A是u中所有满足性质P的元素构成的集合
其意思是：对于任意集合u，我们可以从u中分离出满足性质P的元素，构成一个新的集合A
关键点：

他避免形成了过大的集合(也就是不存在包含所有集合的集合)
他只能从已有集合中筛选元素，而不能创建全新的、更大的集合

现在我们构造空集：存在一个集合X，根据分离公理模式，{x∈X|x≠x}是一个集合，记X={x∈X|x≠x},B={x∈Y|x≠x},现证明A=B：
根据外延公理：∀A，∀B，(∀x(x∈A⇔x∈B)⇔A=B),即只需检查∀A和B，∀x(x∈A⇔x∈B)是否成立，由于A={x∈X|x≠x}，∀x,x∈A不成立，则x∈A->x∈B,同理，∀x,x∈B->x∈A,所以∀x(x∈A⇔x∈B)成立，所以A=B，所以{x∈X|x≠x}是唯一的，我们将这个集合记为∅

∃A,∀x:(v∉u)(∃A,∀x:¬(x∈A))
换句话说：有着一个集合，没有任何集合是他的元素
根据外延公理，这个集合有且只有一个，我们称之为空集，记作∅

不要认为这是显然的，不然一个问题就可以问住你：∅是唯一的吗？你可能会说，这还用想，但是当让你给出具体证明时，你就会哑口无言
有了这些，我们就可以解决罗素悖论了：

• 回想一下罗素悖论是怎么产生的。我们先是定义了 B={x∣x∉x}，并推出了B∈B→B∉B以及 B∈B←B∉B，从而引起了矛盾。为了解决罗素悖论，我们只需要使它们其中一个不成立即可。我们将要使后者不成立。推导如下：

(1)根据分离公理，可以定义 B={x∈A|x∉x}。称x∉x为性质φ
(2)假设 B∈B，则根据 B的定义，B满足性质φ，即 B∉B，矛盾！所以只能有B∉B。
(3)接下来我们证明 B∉A。我们用反证法。假设B∈A。
一方面，根据(2),B∉B，即 B满足性质φ。
另一方面，根据我们的假设，有B∈A。
所以B属于A且B满足性质φ。根据B的定义,B∈B，这与(2)矛盾！所以 B∉A。
既然B∉A，那么B∉B 就不能推出B∈B
这样我们就解决了罗素悖论，即集合B不属于自身，仅此而已，没有矛盾发生。
如果你觉得这一切发生的太快，我下面再用更自然的语言描述一遍。本来我们是凭空地用性质“不属于自己”来定义一个集合B,而分离公理模式告诉我们这样做不行。这就是问题的关键！我们必须要从一个已有的集合A分离出新的集合B，而A被证明是不含有元素B的，从而“B不属于自己”不能推出“B属于自己”。注意到从“B不属于B”推出“B属于B”还需要一个条件，就是“B属于A”。
再换句话说，罗素悖论的关键在于“自我指代”，而分离公理消除了“自我指代”的可能。B指代的只有A中的元素，而不是任何元素都能被B的定义指代。
以上的分析还证明了，对于任何一个集合A，总有一个集合B={x∈A|x∉x}不属于A(根据(3))。因此，所有集合构成的集合是不存在的，或者说，包含一切的集合是不存在的。

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配对公理

（Axiom of Pairing）

对于任意两个对象a和b，存在一个集合C，C={a,b},只包含a和b两个元素，即

• ∀a ∀b ∃C ∀x ( x ∈ C ↔ x = a ∨ x = b )
• 也就是说，存在一个集合，它的元素只有a,b，而根据外延性公理，可以证明这个集合是唯一的

而对于两个元素a，做配对，存在集合C={a,a},即：∃C∀x(x∈C⇔x=a)
则C={a,a}={a}，即集合中元素是唯一的
根据外延性公理，可以得出：{a,b}={b,a}，也就是集合的无序性

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并集公理

（Axiom of Union）

任给一个集合X，都有一个恰好由X的元素的全体元素构成的集合，即
∀X ∃Y ∀z (z∈Y ↔ ∃w (w∈X ∧ z∈w))
并集公理允许我们构造出一个新的集合，这个集合是A中所有元素的并

这里并不存在交集公理，因为交集可以借助分离公理模式和外延公理定义(这里{}不知道为什么渲染不出来，请读者自行脑补吧)
$$\bigcap_{i \in I} A_i = { { x \mid \forall i \in I, x \in A_i } }$$
特殊的：
⋂{A,B}={x|x∈A∧x∈B}=A⋂B
类似的可以定义差集，但这里请读者自行定义(因为我懒得写了^_^)

• 当然，有了这四条公理，我们就可以成功的构造自然数了(基于冯诺依曼，是不是很反直觉)：

First,we define 0=∅,1={∅},then 2={0,{0}},3={0,1,{0,1}},…
we define successor(后继):
S(x):=x∪{x} ":"是define的意思，注意到，0不是任何自然数的后继
但是很遗憾，我们现在并不能定义自然数集(见无穷公理)

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幂集公理

（Axiom of Power Set）

∀X ∃Y ∀z (z∈Y ↔ z⊆X)
它的意思是，可以将一个集合的所有子集作为元素，构造一个新的集合。我们把这个集合叫做原来集合的幂集，记为 P(X).
这提供了一种快速构造集合的方法，这是一种十分重要的构造方法，在高等数学中时常出现

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无穷公理

（Axiom of Infinity）

∃u(∅∈u∧∀x(x∈u⇒x∪{x}∈u))
有些地方可能会将存在公理单独列出来，但其实存在公理隐含在了无穷公理和空集公理，空集公理确保了存在一个空集，无穷公理说明存在一个无限集合，这就说明至少存在一个集合，也就是存在公理
无穷公理提供了一种构造无穷可列集的方法，同时也给出了自然数集
存在一个集合X，∅∈X，∀x∈X，x∪{x}∈X(后继)，根据外延性公理，可以证明该集合是唯一的，我们记为N，即N={∅,{∅},{∅,{∅}},…}，即N是自然数集

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正则性公理

（Axiom of Regularity）

$$ \forall A (A \neq ∅ \rightarrow \exists x \in A(x \cap A = ∅)) $$
直观的理解，正则性公理禁止了一个集合包含自身的可能性，比如A={A}是不被允许的,另一种是禁止了无限降链，即不存在一个无限序列
$$ A_0,A_1,A_2,\cdots 使得 A_{n+1} \in A_{n} 对所有n成立$$
正则性公理作为一条补充的公理，避免了一种悖论的出现：自指
当然这个自指是有范围限制的，只能限制集合论里的集合，这也是ZFC公理系统的作用范围，有个著名的例子就是说谎者悖论：
这句话是假的
这是无法被正则性公理约束的
当然，正则性公理还是有存在的道理的
最典型的自指例子就是大名鼎鼎的罗素悖论，前面也提到过
当然，利用正则性公理可以更直接的回避罗素悖论
假设我们有一个集合A={A}其中A包含自身作为元素。在没有正则性公理的情况下，这样的集合是合法的，因为它没有违反任何其他公理。
然而，正则性公理要求至少存在一个元素B∈A，并且B与A没有交集。在这种情况下，集合A不满足正则性公理，因为A中唯一的元素是A本身，导致它和A具有共同的元素，这形成了循环。
发现没有，它消除了自指这个导致罗素悖论的坏家伙！
补充一下，我刚开始学正则性公理时，无法理解为什么{1,2,3}满足正则性公理，其实很简单
在ZFC公理系统中，1被视为一个包含空集的集合,也就是1={∅},2={∅,{∅}}
那么，集合{1,2,3}表示为{{∅},{∅,{∅}},{∅,{∅},{∅,{∅}}}}
{∅} ∩ {∅},{∅,{∅}},{∅,{∅},{∅,{∅}}}}=∅
就是这样子了

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替代公理模式

（Axiom Schema of Replacement）

∀A∃B(B={y|∃x(x∈A∧P(x,y))})
即对于任意集合A，存在一个集合B，B是由A中元素通过映射P(x,y)得到的，其中P(x,y)是定义在A上的二元函数，即对于任意x∈A，P(x,y)有唯一值y，且y∈B，这样我们可以得到各种各样的可数无穷集。例如，定义φ为φ(x,y):y=2x。可以构造偶数集，但是这样只能得到可数无穷集，于是我们通过幂集公理，可以构造基数更大的无穷集
$$首先，考虑自然数集𝑁其基数是ℵ_{0}(可数无限)。即∣𝑁∣=ℵ_{0}我们想要构造$$ $$一个基数大于自然数的集合，使用 幂集公理 来实现\
取自然数集的幂集 ( \mathcal{P}(\mathbb{N}) ) $$ $$
根据幂集公理，存在一个集合 ( \mathcal{P}(\mathbb{N}) )，它包含了自然数集所有的子集。$$ $$由于每个集合的幂集的基数都大于原集合的基数，所以 ( \mathcal{P}(\mathbb{N}) ) 的基数比 ( \mathbb{N} ) 的基数 ( \aleph_0 ) 要大。$$$$如果我们考虑每个自然数集合的子集，它们可以通过二进制表示来编码。每个子集 ( S \subseteq \mathbb{N} ) $$$$可以被表示为一个由 0 和 1 组成的序列，其中每个位置对应自然数集合$$$$的一个元素。如果( S ) 包含自然数 ( i )，那么对应位置是 1，否则是 0。$$$$这样的编码方式表示了自然数集的所有子集，因此每个子集对应一个二进制数。由于二进制数的$$$$集合的基数是 ( 2^{\aleph_0} )，这个基数恰好是 不可数 的，即比 ( \aleph_0 ) 更大$$

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选择公理

（Axiom of Choice）

index

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关系与映射

本章是属于集合论的范畴，进一步对集合加深研究，同时也是对特殊集合的性质和行为的研究和讨论

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笛卡尔积

• 序偶(有序对)：

<a,b>={a,{a,b}}

理解：第一个元素出现在每个子集合中 , 第二个元素只出现在一个子集合中 , 通过这种方式 , 保证了有序对的定义 , 一前一后两个元素 , 前后顺序不同 , 对应的有序对不同

以下两个是不同的有序对
<a,b>={a,{a,b}}
<b,a>={b,{a,b}}

• 引理1：{x,a}={x,b}⇔a=b
• 引理2: 若 A = B ≠ ∅,则有

⋃ A=⋃ B
⋂ A=⋂ B

• 引理3: <a,b>=<c,d>⇔a=c∧b=d
• 推论：a≠b⇒<a,b>≠<b,a>
• n元有序组(递归定义)：

n=2时，<a₁,a₂>={a₁,{a₁,a₂}}
n>2时，<a₁,…,a_n>=<<a₁,…,a_n-1>,a_n>
a_i称为n元组分第i分量

那么，有了有序组这个概念，引入笛卡尔积就直接的多

• 笛卡尔积：
• 如果有两个集合A和B，那么它们的笛卡尔积A×B是所有可能的有序对(x, y)的集合，其中x是集合A的元素，y是集合B的元素.数学表达式：

A×B = { (x,y) | x ∈ A ∧ y ∈ B }

• 例子：

A×∅=∅×A=∅
R²={<x,y>|x,y∈R}，表示笛卡尔平面直角坐标系
Rⁿ={<x₁,x₂,…,x_n>|x_i∈R,i=1,2,…,n}，表示n维笛卡尔坐标系

笛卡尔积也是集合，本身也具有特殊的运算规则，但由于内容简单(懒),就不在此赘述

• 定理：

对于任意有限集合A₁,…,A_n，有|A₁×…×A_n|=|A₁|×…×|A_n|
这表示总步骤=分步骤的乘积，一个例子是阶乘的实际意义

初识关系

关系的定义和表示

关系的运算

深入关系

关系的性质

关系闭包

特殊关系

特殊关系的拓展

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